\chapter{爱因斯坦广义相对论场方程的推导 (1915)}

	\begin{abstract}
		本文详细追溯了爱因斯坦在1915年建立广义相对论场方程的历史过程。从等效原理出发，通过黎曼几何的语言，最终得到描述时空弯曲与物质分布关系的爱因斯坦场方程。关键推导步骤包括：度规张量的引入、爱因斯坦-希尔伯特作用量的变分、以及能量-动量张量的构造。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1915年11月25日，阿尔伯特·爱因斯坦在普鲁士科学院发表了著名的广义相对论场方程：
	\begin{equation}
		R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}
	\end{equation}
	其中$\kappa = \frac{8\pi G}{c^4}$为耦合常数。本文将重现这一划时代方程的推导过程。
	
	\section{理论基础}
	\subsection{等效原理}
	爱因斯坦从1907年提出的等效原理出发：
	\begin{quote}
		\textbf{"局部惯性系中，引力效应可以被加速度抵消"}
	\end{quote}
	
	数学表述为：
	\begin{equation}
		\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0
	\end{equation}
	其中$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$为Christoffel符号。
	
	\subsection{黎曼几何工具}
	引入以下几何量：
	\begin{itemize}
		\item 度规张量 $g_{\mu\nu}$
		\item 黎曼曲率张量 $R^\rho_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$
		\item Ricci张量 $R_{\mu\nu} = R^\lambda_{\mu\lambda\nu}$
		\item 曲率标量 $R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$
	\end{itemize}
	
	\section{场方程推导}
	\subsection{爱因斯坦-希尔伯特作用量}
	1915年希尔伯特提出引力作用量：
	\begin{equation}
		S_{EH} = \int R\sqrt{-g}d^4x
	\end{equation}
	其中$g=\det(g_{\mu\nu})$。
	
	\subsection{作用量变分}
	对度规变分$\delta g^{\mu\nu}$得到：
	\begin{equation}
		\delta S_{EH} = \int \left(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x
	\end{equation}
	
	\subsection{物质部分作用量}
	物质场作用量$S_M$的变分定义能量-动量张量：
	\begin{equation}
		\delta S_M = \frac{1}{2}\int T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x
	\end{equation}
	
	\subsection{场方程获得}
	根据最小作用量原理$\delta S_{EH} + \delta S_M = 0$，得到：
	\begin{equation}
		R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}
	\end{equation}
	
	\section{守恒律与牛顿极限}
	\subsection{比安基恒等式}
	几何部分自动满足$\nabla^\mu(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}) = 0$，对应能量-动量守恒：
	\begin{equation}
		\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0
	\end{equation}
	
	\subsection{牛顿引力恢复}
	在弱场近似$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$下，场方程退化为：
	\begin{equation}
		\nabla^2\phi = 4\pi G\rho
	\end{equation}
	与牛顿引力方程一致。
	
	\section{结论}
	爱因斯坦场方程完美实现了物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动的物理图景，奠定了现代引力理论的基础。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{einstein1915} 
		Einstein, A. (1915). \"Die Feldgleichungen der Gravitation\". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844-847.
		
		\bibitem{hilbert1915}
		Hilbert, D. (1915). \"Die Grundlagen der Physik\". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 395-407.
		
		\bibitem{carroll2003}
		Carroll, S. (2003). \"Spacetime and Geometry\". Addison-Wesley.
	\end{thebibliography}
	